Question

19．边长为2的两个等边△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）

• A． $\sqrt{6}π$
• B． 6π
• C． $\frac{20π}{3}$
• D． 16π

Answer 1

分析 由题意，正三角形的高为$\sqrt{3}$，外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，设球心到平面CBD的距离为d，则R²=d²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\sqrt{3}$-d）²，求出d，R，即可求四面体ABCD的外接球的表面积．

解答 解：由题意，正三角形的高为$\sqrt{3}$，外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设球心到平面CBD的距离为d，则R²=d²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴R²=$\frac{5}{3}$，
∴四面体ABCD的外接球的表面积为4πR²=$\frac{20π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查四面体ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定面体ABCD的外接球的半径是关键．