Question

9．已知四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=1，PB=AC=2，则球O的表面积S=9π．

Answer 1

分析 根据条件，根据四面体P-ABC构造长方体，然后根据长方体和球的直径之间的关系，即可求出球的半径．

解答 解：∵PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=1，PB=AC=2，
∴构造长方体，则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，
则长方体的体对角线等于球的直径2R，
则2R=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=3，
∴R=$\frac{3}{2}$，
则球O的表面积为4πR²=4$π×（\frac{3}{2}）^{2}$=9π，
故答案为：9π．

点评 本题主要考查空间几何体的位置关系，利用四面体构造长方体是解决本题的关键，利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点．