已知椭圆C:y2a2+x2b2=1的离心率为63.F为椭圆在x轴正半轴上的焦点.M.N两点在椭圆C上.且MF=λFN．(Ⅰ)求证:当λ=1时MN⊥AF,(Ⅱ)若当λ=1时有AM•AN=1063.求椭圆C的方程,的椭圆中.当M.N两点在椭圆C上运动时.试判断AM•AN×tan∠MAN是否有最大值.若存在.求出最大值.并求出这时M.N两点所在直线方程.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且

=λ

（λ＞0），定点A（-4，0）．
（Ⅰ）求证：当λ=1时

⊥

；
（Ⅱ）若当λ=1时有

•

106

，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的椭圆中，当M、N两点在椭圆C上运动时，试判断

•

×tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），当λ=1时，

，-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，由M，N两点在椭圆上，结合已知条件能证明

⊥

．
（Ⅱ）当λ=1时，设M(c，

)，N(c，-

)，

c2+8c+16=

106

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅲ）

•

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|，设直线MN的方程为y=k（x-2），联立

y=k(x-2)

，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，由此利用弦长公式结合已知条件能求出直线的MN方程．

解答： （Ⅰ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），
则

=(c-x1，-y1)，

=(x2-c，y2)，
当λ=1时，

，∴-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，
由M，N两点在椭圆上，
∴

=a2(1-

)，

=a2(1-

)，∴

若x₁=-x₂，则x₁+x₂=0≠2c舍，∴x₁=x₂，
∴

=(0，2y2)，

=(c+4，0)，
∴

⊥

．（3分）
（Ⅱ）解：当λ=1时，不妨设M(c，

)，N(c，-

)，
∴

•

=(c+4)2-

，
又a 2=

c2，b2=

，∴

c2+8c+16=

106

，
椭圆C的方程为

=1．（8分）
（Ⅲ）解：

•

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|，
设直线MN的方程为y=k（x-2），（k≠0）
联立

y=k(x-2)

，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，（10分）
∴|yM-yN|=

24k4+24k2

1+3k2

，
记t=

24k4+24k2

1+3k2

，s=1+3k2，
则t=

•

(

s-1

)2+(

s-1

)

•

（11分）
∴t≤

，当s=4，即k=±1时取等号．
并且，当k=0时

•

×tan∠MAN=0，
当k不存在时|yM-yN|=

＜

综上

•

×tan∠MAN有最大值，最大值为6

，
此时，直线的MN方程为x-y-2=0，或x+y-2=0（14分）

点评：本题考查向量垂直的证明，考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．

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