题目内容

若函数y=x+
a
x
，a∈R且在[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：求y′，找出函数y=x+
a
x
的单调增区间，并使该函数在[2，+∞）上单调递增，从而求得a的取值范围．
解答： 解：y′=1-
a
x2
=
x2-a
x2
；
若a≤0，则y′＞0，∴函数y=x+
a
x
在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数；
若a＞0，则函数y=x+
a
x
在（-∞，-
a
）和[
a
，+∞）上为增函数，∴
a
≤2，∴0＜a≤4．
∴a的取值范围是：（-∞，4]．
点评：考查利用求导数，判断导数符号来判断函数单调性的方法，这里注意对于a的讨论．
练习册系列答案
相关题目
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A、12
B、16
C、24+4
5
D、8+
8
2
3
某中学对高二甲、乙两个同类班级进行加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用的试验，其中甲班为实验班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用试题测试的平均成绩（均取整数）如表所示：
60分以下61-70分71-80分81-90分91-100分
甲班（人数）36111812
乙班（人数）39131510
现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀．
（1）试分析估计两个班级的优秀率；
（2）由以上统计列出2×2列联表．
定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以
a2+b2
为半径的圆O为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“准圆”．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
3
，直线l：2x-y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作斜率存在且不为0的两条不同的直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆都相切，试判断l1与l2是否垂直？并说明理由．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且
MF
=λ
FN
（λ＞0），定点A（-4，0）．
（Ⅰ）求证：当λ=1时
MN
⊥
AF
；
（Ⅱ）若当λ=1时有
AM
•
AN
=
106
3
，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的椭圆中，当M、N两点在椭圆C上运动时，试判断
AM
•
AN
×tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．
已知直线 l：（1+
3
λ）x-（3-2λ）y-（
3
+3λ）=0（λ∈R），一定经过椭圆C（中心在原点，焦点在x轴上）的焦点F，且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为2+
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1，1），求S△ABM的最大值．
如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，
15
4
）．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求
sin(α+
π
4
)
sin(π+2α)-sin(
3π
2
-2α)+1
的值．
若椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e为
3
5
，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．
若对于?x∈R使得丨x-2a丨+x＞3恒成立，求a的取值范围．

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