Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P可向圆x²+y²=（

b

2

）²作切线PA，PB，若存在点P使得

PA

•

PB

=0，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  ，+∞）
• B、（1，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，

  5

  ）
• D、（1，

  5

  ）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P可向圆x²+y²=（

b

2

）²作切线PA，PB，可得a＞

b

2

；存在点P使得

PA

•

PB

=0，可得

2

b≥a，即可得出结论．

解答： 解：由题意，∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P可向圆x²+y²=（

b

2

）²作切线PA，PB，
∴a＞

b

2

，
∴4a²＞b²，
∴5a²＞c²，
∴e＜

5

，
∴存在点P使得

PA

•

PB

=0，
∴

2

b≥a，
∴e≥

3

．
故选：C．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．