Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，AB=2BC=2CD=2．E为AB中点．现将该梯形沿DE析叠．使四边形BCDE所在的平面与平面ADE垂直．
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）求证：BD⊥平面ACE；
（3）求平面BAC与平面EAC夹角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出AE⊥平面BCDE，由此能求出多面体ABCDE的体积．
（2）由已知条件推导出AE⊥平面BCDE，从而得到BD⊥AE，又BD⊥CE，由此能证明BD⊥平面ACE．
（3）设BD∩CE=O，过点O作OF⊥AC于F，连结BF，由已知条件推导出∠OFB是二面角B-AC-E的平面角，由此能求出平面BAC与平面EAC夹角的大小．

解答： （1）解：∵四边形BCDE所在的平面与平面ADE垂直，
∴AE⊥平面BCDE，
∴V_A-BCDE=

1

3

SBCDE•AE=

1

3

×1×1=

1

3

．
（2）证明：∵平面BCDE⊥平面ADE，AE⊥BE，
∴AE⊥平面BCDE，而BD?平面BCDE，
∴BD⊥AE，又BD⊥CE，AE∩CE=E，
∴BD⊥平面ACE．
（3）解：设BD∩CE=O，过点O作OF⊥AC于F，连结BF，
∵BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC，
∴AC⊥平面BOF，∴AC⊥BF，
∴∠OFB是二面角B-AC-E的平面角，
在Rt△OFB中，OB=

2

2

，BF=

2

3

，
∴sin∠OFB=

OB

BF

=

3

2

，
∴∠OFB=60°，
∴平面BAC与平面EAC夹角的大小为60°．

点评：本题考查多面体体积的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．