Question

13．已知椭圆的焦点F₁（0，-1），F₂（0，1），P为椭圆上一动点，且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则椭圆的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1

Answer 1

分析 设椭圆方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=1，根据|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，可得2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，且|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=2a，就可求出a，b的值，再判断焦点所在坐标轴，就可得到椭圆方程．

解答 解：椭圆的焦点F₁（0，-1），F₂（0，1），椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=1，
∵|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|
又∵|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=2a，∴4c=2a，a=2c
∴a=2，b²=a²-c²=3，
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．