Question

10．已知f（x）=|2x+$\frac{3}{a}$|+2|x-a|
（1）若a=3，求f（x）≥4的解集；
（2）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，对x讨论，化简f（x），再解不等式，最后求并集即可；
（2）运用绝对值不等式的性质，结合基本不等式，可得f（x）的最小值，再由不等式恒成立思想，可令m不大于最小值，即可得到m的最大值．

解答 解：（1）若a=3，则f（x）=|2x+1|+|2x-6|≥|2x+1-2x+6|=7＞4，
故不等式的解集是R；
（2）f（x）=|2x+$\frac{3}{a}$|+2|x-a|≥|（2x+$\frac{3}{a}$）+（2a-2x）|=|$\frac{3}{a}$+2a|=2a+$\frac{3}{a}$≥2$\sqrt{2a•\frac{3}{a}}$=2$\sqrt{6}$，
当且仅当2a=$\frac{3}{a}$即a=$\sqrt{6}$时，取得最小值2$\sqrt{6}$．
由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，
则m≤2$\sqrt{6}$
即有m的最大值为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．