Question

7．长为$4\sqrt{2}$的线段AB在双曲线x²-y²=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=-x²-2上的点，则△ABC面积的最小值是（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$
• D． 7

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设C（m，-m²-2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．

解答 解：双曲线x²-y²=1的一条渐近线方程为y=x，
C为抛物线y=-x²-2上的点，
设C（m，-m²-2），
C到直线y=x的距离为d=$\frac{|{m}^{2}+m+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}}{\sqrt{2}}$≥$\frac{7}{4\sqrt{2}}$，
当m=-$\frac{1}{2}$时，d的最小值为$\frac{7}{4\sqrt{2}}$，
可得△ABC的面积的最小值为S=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{7}{4\sqrt{2}}$=$\frac{7}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程的应用，点到直线的距离公式的运用，考查二次函数的最值的求法，属于中档题．