Question

已知函数f（x）=x|x-a|-ln（x+1）
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=-1时，若?x∈[0，+∞），f（x）≤（k+1）x²恒成立，求实数k的最小值；
（3）证明：

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）＜2（n∈N^*）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：（1）当a=0时，f（x）=x|x|-ln（x+1）（x＞-1），分x∈（-1，0]，x∈（0，+∞）两种情况讨论去掉绝对值符号，然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可的单调区间；
（2）?x∈[0，+∞），f（x）≤（k+1）x²恒成立，可化为kx²-x+ln（x+1）≥0恒成立，令g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥0，则只需g（x）_min≥0，当k≤0时易判断不合题意；当k＞0时，利用导数可判断单调性、最值情况，进而可得结论；
（3）在（2）中取k=

1

2

，得x-ln(x+1)≤

x2

2

，令h（x）=x-ln（x+1），易验证n=1时不等式成立；当n≥2时，化简可得

n

i=1

h（

2

2i-1

）=

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）．再由h（

2

2i-1

）≤

2

(2i-1)2

＜

2

(2i-3)(2i-1)

（i∈N^*，i≥2），及裂项求和可得结论；

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|-ln（x+1）（x＞-1），
当x∈（-1，0]时，f（x）=-x²-ln（x+1），
f′(x)=-2x-

1

x+1

=-

2x2+2x+1

x+1

＜0，
∴f（x）在x∈（-1，0]上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²-ln（x+1），
f′(x)=2x-

1

x+1

=

2x2+2x-1

x+1

，令f'（x）＞0得x＞

3 -1

2

，
∴f（x）在(0，

3 -1

2

)上单调递减，在(

3 -1

2

，+∞)上单调递增；
综上得，f（x）的单调递减区间是（-1，0]，（0，

3 -1

2

），单调递增区间是(

3 -1

2

，+∞)．
（2）当a=-1时，f（x）=x|x+1|-ln（x+1）=x²+x-ln（x+1），
∴?x∈[0，+∞）时，x²+x-ln（x+1）≤（k+1）x²，即kx²-x+ln（x+1）≥0，
设g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥0，
当k≤0时，g（1）≤-1+ln2＜0不合题意．
当k＞0时，g′(x)=2kx-1+

1

x+1

=

2kx[x+(1- 1 2k )]

x+1

，
令g'（x）=0，得x1=0，x2=

1

2k

-1＞-1，
①当k≥

1

2

时，x2=

1

2k

-1≤0，g′(x)＞0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=0，故k≥

1

2

符合题意．
②当0＜k＜

1

2

时，x2=

1

2k

-1＞0，对x∈(0，

1

2k

-1)，g'（x）＜0，g（x）＜g（0）=0，
故0＜k＜

1

2

不合题意，综上，k的最小值为

1

2

．
（3）在（2）中取k=

1

2

，得x-ln(x+1)≤

x2

2

，令h（x）=x-ln（x+1），
证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立．
当n≥2时，

n

i=1

h（

2

2i-1

）=

n

i=1

[

2

2i-1

-ln（1+

2

2i-1

）]
=

n

i=1

2

2i-1

-

n

i=1

[ln（2i+1）-ln（2i-1）]
=

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）．
从而h（

2

2i-1

）≤

2

(2i-1)2

＜

2

(2i-3)(2i-1)

（i∈N^*，i≥2），
所以有

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）=

n

i=1

h（

2

2i-1

）=f（2）+

n

i=2

h(

2

2i-1

)＜2-ln3+

n

i=2

2

(2i-3)(2i-1)

=2-ln3+

n

i=2

(

1

2i-3

-

1

2i-1

)=2-ln3+1-

1

2n-1

＜2．
综上，

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）＜2，n∈N^*．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题及不等式的证明，考查转化思想，考查学生综合运用知识解决复杂问题的能力，根据函数的最值、单调性构造不等式是证明不等式的关键所在．