Question

在数列{a_n}和{b_n}中，已知a₁=2，a₂=6，a_n+2a_n=3a_n+1²（n∈N^*），b_n=

an+1

an

，
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若P_n=

1

log3 an+1 2

，S_n为数列{p_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用累乘法求数列的通项公式；
（3）利用裂项相消法求数列的和即可．

解答： （1）证明：∵an+2an=3an+12（n∈N*）∴

bn+1

bn

=

an+2 an+1

an+1 an

=

an+2an

an+12

=

3an+12

an+12

=3
所以数列{b_n}是以3为公比的等比数列；…．（4分）
（2）解：由（1）可得到bn=b1qn-1=

a2

a1

qn-1=

6

2

×3n-1=3n
所以bn=

an+1

an

=3n
所以

a2 a1 =31 a3 a2 =32 a4 a3 =33 … an an-1 =3n-1 ∴ a2 a1 × a3 a2 × a4 a3 ×…× an an-1 =31×32×33×…×3n-1 ∴ an a1 =31+2+3+…+(n-1)=3 n2-n 2

又因为：∵a₁=2，∴an=a1×3

n2-n

2

=2×3

n2-n

2

…（8分）
（3）解：由（2）得：an=2×3

n2-n

2

所以pn=

1

log3 an+1 2

=

1

log33 (n+1)2-(n+1) 2

=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=

2

n

-

2

n+1

所以

Sn=p1+p2+p3+…+pn =( 2 1 - 2 2 )+( 2 2 - 2 3 )+( 2 3 - 2 4 )+…+( 2 n - 2 n+1 ) =2- 2 n+1 = 2n n+1

…（12分）

点评：本题主要考查等比数列的定义及性质，考查利用累乘法求数列的通项公式及利用裂项相消法求数列和等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．