Question

6．求与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点即为椭圆的焦点，设出椭圆方程，代入点M的坐标，得到方程及a，b，c的关系，解方程，即可得答案．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦点为：（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），
则椭圆的焦点为：（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），且c=$\sqrt{6}$，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=6}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=8，b²=2．
则所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查解方程的运算能力，属于基础题．