Question

14．在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=2，公比为q，且b₂+S₂=16，4S₂=qb₂．
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求c_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意和等比数列的通项公式列出方程求出q，代入原方程求出公差d，由等比、等差数列的通项公式求出a_n与b_n；
（2）由（1）和等差数列的前n项和公式求出S_n，代入c_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$化简，利用裂项相消法和等差数列的前n项和公式求出{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为$\left\{{\begin{array}{l}{{b_2}+{S_2}=16}\\{4{S_2}=q{b_2}}\end{array}}\right.$，所以${b_2}+\frac{1}{4}{b_2}q=16$，
因为b₁=2，公比为q（q＞0），所以4q+q²=32…（2分）
解得q=4或q=-8（舍），则b₂=8，S₂=8，
又a₁=3，解得a₂=5，则d=2，…（4分）
故a_n=5+2（n-2）=2n+1，${b_n}={2^{2n-1}}$．  …..（6分）
（2）由（1）得S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2），…..（8分），
∴${c_n}=\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．         …（10分）
$\left.\begin{array}{l}{{T}_{n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）}\\{=\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{=\frac{3}{4}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+4}}\end{array}\right.$ $\left.\begin{array}{l}{=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}}\end{array}\right.$…（12分）

点评 本题考查了等比、等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及裂项相消法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．