Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a-b）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）若AB=4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由c与C的度数，表示出三角形ABC面积，利用余弦定理及基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时三角形的形状即可．

解答 解：（1）∵ccosB=（2a-b）cosC，
∴由正弦定理可知，sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC，
即sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosC，
∴sin（C+B）=2sinAcosC，
∵A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由题可知c=4，C=$\frac{π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
∵由余弦定理可知：a²+b²=c²+2abcosC，即a²+b²=16+ab≥2ab，
∴ab≤16，当且仅当a=b时取等号，
∴S_△ABC的最大值为4$\sqrt{3}$，此时三角形为等边三角形．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．