Question

1．在△ABC中，
①A＜B?sinA＜sinB；
②若a，b，c为△ABC的三边且a=$\sqrt{3}$，B=2A，则b的取值范围是（$\sqrt{3}，2\sqrt{3}$）；
③若O为△ABC所在平面内异于A、B、C的一定点，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|sinB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|sinC}}}$）（λ∈R），则动点P必过△ABC的内心；
④△ABC的三边构成首项为正整数，公差为1的等差数列，且最大角是最小角的两倍，则最小角的余弦值为$\frac{3}{4}$．
其中所有正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①根据正弦定理进行证明
②根据三角函数的倍角公式以及正弦定理进行转化求解，
③作出如图的三角形AD⊥BC，可以得出$|\overrightarrow{AB}|$sinB=$|\overrightarrow{AC}|$sinC=AD，由此对已知条件变形即可得出结论
④设△ABC中的三边长为a，a+1，a+2最小角，最小角和最大角为θ，2θ，分别由正弦定理和余弦定理，求出cosθ，解得即可．

解答 解：①由正弦定理得在三角形中A＜B?a＜b?sinA＜sinB；故①正确，
②若a，b，c为△ABC的三边且a=$\sqrt{3}$，B=2A，
则由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{b}{sin2A}$=$\frac{b}{2sinAcosA}$，
即b=2acosA=2$\sqrt{3}$cosA，
∵C=π-A-B=π-3A＞0，
∴0＜A＜$\frac{π}{3}$，即$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
则$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$cosA＜2$\sqrt{3}$，
则b的取值范围是（$\sqrt{3}，2\sqrt{3}$）；故②正确，
③作出如图的图形AD⊥BC，由于$|\overrightarrow{AB}|$sinB=$|\overrightarrow{AC}|$sinC=AD，
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}）$=$\overrightarrow{OA}+\frac{λ}{|AD|}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
由加法法则知，P在三角形的中线上
故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故③错误，
④设△ABC中的三边长为a，a+1，a+2最小角，z∈N^•，
最小角和最大角为θ，2θ，
再由正弦定理可得$\frac{a}{sinθ}$=$\frac{a+2}{sin2θ}$，
所以cosθ=$\frac{a+2}{2a}$，
由余弦定理得cosθ=$\frac{（a+2）^{2}+（a+1）^{2}-{a}^{2}}{2（a+2）（a+1）}$=$\frac{a+2}{2a}$，解得a=4，
所以三边的长为4，5，6．
则则cosθ=$\frac{a+2}{2a}$=$\frac{4+2}{2×4}=\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
即最小角的余弦值为$\frac{3}{4}$．故④正确，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，正弦定理以及平面向量的应用，涉及的综合性较强，有一定的难度．