Question

设函数g（x）=2（x²+ax）sin

πx

2

（x∈[0，2]，a≥-2）的值域为[-2，0]，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：根据sin

πx

2

的取值范围，将-2≤g（x）≤0，化简

-2

sin πx 2

≤2(x2+ax)≤0．即-

1

xsin πx 2

-x≤a≤-x．再利用x∈[0，2]，即可求得a=-2．

解答： 解：∵g（x）=2（x²+ax）sin

πx

2

，
∴当x=0或x=2时，g（x）=0．
∵当0＜x＜2时，0＜sin

πx

2

≤1．
∴-2≤g（x）≤0，可化简为

-2

sin πx 2

≤2(x2+ax)≤0．
即-

1

xsin πx 2

-x≤a≤-x．
又∵x∈[0，2]，
∴-x≥-2．
∴a≤-2．
又∵a≥-2，
∴a=-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查三角函数的性质及最值，不等式的解法及应用等知识，属于中档题．