Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角A为锐角，且sin²A=4sinBsinC=(

sinB+sinC

m

)2，则实数m范围为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：由正弦定理把已知的等式化角的关系为边的关系，得到4m2=

(b+c)2

bc

，再由角A为锐角得到其余弦值大于0小于1，由此求得4bc＜b²+c²＜6bc，进一步配方得到6＜

(b+c)2

bc

＜8，则4m²的范围可求，实数m的范围可求．

解答： 解：∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
又sin²A=4sinBsinC=(

sinB+sinC

m

)2，
∴a2=4bc=

(b+c)2

m2

，
∴4m2=

(b+c)2

bc

，
又角A为锐角，
∴0＜cosA=

b2+c2-a2

2bc

＜1，
∴0＜

b2+c2-4bc

2bc

＜1，
∴4bc＜b²+c²＜6bc，
则6bc＜（b+c）²＜8bc，即6＜

(b+c)2

bc

＜8，
∴6＜4m²＜8，
解得：-

2

＜m＜-

6

2

或

6

2

＜m＜

2

．
故答案为：(-

2

，-

6

2

)∪(

6

2

，

2

)．

点评：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了利用三角形中的边和角的关系求解参数的取值范围，解答此题的关键是由角A为锐角求得不等式4bc＜b²+c²＜6bc，是中档题．