Question

函数y=cos³x-sin²x-5cosx，x∈R的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：利用导数的性质求解．

解答： 解：∵y=cos³x-sin²x-5cosx
∴y′=3cos²x（-sinx）-2sinxcosx+5sinx
=sinx（-3cos²x-2cosx+5）
=sinx（3cosx+5）（-cosx+1），
由y′=0，得sinx=0，cosx=1，cosx=-

5

3

（舍）．
∵sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]，
又sinx=0，cosx=1是y′=0的两个不同的解，
∴

sinx=0 cosx=-1

或

cosx=1 sinx=0

，
当

sinx=0 cosx=-1

时，y=-1-0+5=4；
当

cosx=1 sinx=0

时，y=1-0-5=-4．
∵sinx＞0时，y′＞0；sinx＜0时，y′＜0．
sin²x+cos²x=1，
∴y_max=4，y_min=-4．
∴函数y=cos³x-sin²x-5cosx，x∈R的值域为[-4，4]．
故答案为：[-4，4]．

点评：本题考查函数的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．