题目内容
设函数f（x）=sinx（1+
）
（Ⅰ）讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）证明：
（1+
）＞2（0＜x＜
）．
| 1 |
| cosx |
（Ⅰ）讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）证明：
| sinx |
| x |
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,三角函数的化简求值,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（I）函数f（x）=sinx（1+
）=sinx+
，其定义域为{x|x≠kπ+
，k∈Z}．利用导数的运算法则可得f′（x）=
≥0，即可得出f（x）的单调区间；
（II）
（1+
）＞2（0＜x＜
）?sinx（1+
）-2x＞0，x∈(0，
)．
令g（x）=sinx（1+
）-2x，x∈(0，
)．利用导数和均值不等式即可得出．
| 1 |
| cosx |
| sinx |
| cosx |
| π |
| 2 |
| cos3x+1 |
| cos2x |
（II）
| sinx |
| x |
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
令g（x）=sinx（1+
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
解答：
（I）解：函数f（x）=sinx（1+
）=sinx+
，其定义域为{x|x≠kπ+
，k∈Z}．
f′（x）=cosx+
=
≥0，
∴f（x）的单调递增区间是(kπ-
，kπ+
)（k∈Z）．
（II）证明：
（1+
）＞2（0＜x＜
）?sinx（1+
）-2x＞0，x∈(0，
)．
令g（x）=sinx（1+
）-2x，x∈(0，
)．
g′（x）=
-2=
+
+
-2＞3
-2=
＞0，
∴函数g（x）在(0，
)上单调递增，且在x=0处连续．
∴g（x）＞g（0）=0．
∴sinx（1+
）-2x＞0，x∈(0，
)．
即
（1+
）＞2（0＜x＜
）．
| 1 |
| cosx |
| sinx |
| cosx |
| π |
| 2 |
f′（x）=cosx+
| cos2x+sin2x |
| cos2x |
| cos3x+1 |
| cos2x |
∴f（x）的单调递增区间是(kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（II）证明：
| sinx |
| x |
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
令g（x）=sinx（1+
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
g′（x）=
| cos3x+1 |
| cos2x |
| cosx |
| 2 |
| cosx |
| 2 |
| 1 |
| cos2x |
| 3 |
| ||||||
3
| |||
| 2 |
∴函数g（x）在(0，
| π |
| 2 |
∴g（x）＞g（0）=0．
∴sinx（1+
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
即
| sinx |
| x |
| 1 |
| cosx |
| π |
| 2 |
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、均值不等式，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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