Question

8．已知$\overrightarrow{p}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{q}$=cosx，-2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．
（2）根据三角函数的单调性，结合最小值求出a的值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-a=2cos²x-2sinxcosx-a=1+cos2x-sin2x-a=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1-a．（2分）
则f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．（3分）
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，解得-$\frac{5π}{8}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调增区间为[-$\frac{5π}{8}$+kπ，-$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．（5分）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，则-1≤cos（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（7分）
∵f（x）的最小值是-2，
∴当cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-1时，函数取得最小值，
此时-$\sqrt{2}$+1-a=-2，则a=3-$\sqrt{2}$，
当cos（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数取得最大值，
此时最大值为f（x）=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1-（3-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查向量数量积和三角函数的综合应用，利用辅助角公式以及向量数量积的坐标是进行化简是解决本题的关键．