若存在正实数y.使得$\frac{xy}{y-x}$=$\frac{1}{5x+4y}$.则实数x的最大值为$\frac{1}{5}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．若存在正实数y，使得$\frac{xy}{y-x}$=$\frac{1}{5x+4y}$，则实数x的最大值为$\frac{1}{5}$．

分析得到关于y的方程，4xy²+（5x²-1）y+x=0，根据△≥0，求出x的最大值即可．

解答解：∵$\frac{xy}{y-x}$=$\frac{1}{5x+4y}$，
∴4xy²+（5x²-1）y+x=0，
∴y₁•y₂=$\frac{1}{4}$＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{{5x}^{2}-1}{4x}$≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{5x}^{2}-1≤0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{5x}^{2}-1≥0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
∴0＜x≤$\frac{\sqrt{5}}{5}$或x≤-$\frac{\sqrt{5}}{5}$①，
△=（5x²-1）²-16x²≥0，
∴5x²-1≥4x或5x²-1≤-4x，
解得：-1≤x≤$\frac{1}{5}$②，
综上x的最大值是$\frac{1}{5}$，
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，考查了转化思想，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

11．已知P是△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{O}$，则S_△ABC：S_△PBC=（　　）

8．已知$\overrightarrow{p}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{q}$=cosx，-2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．

15．已知：矩形A₁ABB₁，且AB=2AA₁，C₁，C分别是A₁B₁、AB的中点，D为C₁C中点，将矩形A₁ABB₁沿着直线C₁C折成一个60°的二面角，如图所示．

（Ⅰ）求证：AB₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求AB₁与平面A₁B₁D所成角的正弦值．．

5．如果两组数x₁，x₂，…，x_n和y₁，y₂，…，y_n的平均数分别为$\overline{x}$和$\overline{y}$，标准差分别为s₁和s₂，那么合为一组数x₁，x₂，…，x_n，y₁，y₂，…，y_n后的平均数和标准差分别是（　　）

	A．	$\overline{x}$+$\overline{y}$，$\frac{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}{2}$		B．	$\overline{x}$+$\overline{y}$，$\frac{\sqrt{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}}{2}$
	C．	$\frac{\overline{x}+\overline{y}}{2}$，$\frac{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}{2}$		D．	$\frac{\overline{x}+\overline{y}}{2}$，$\frac{\sqrt{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}}{2}$

12．函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=-1上，且m，n＞0，则3m+n的最小值16．

9．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．
（1）若x=$\frac{1}{e}$是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=-ex+1垂直，证明：$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（3）设g（x）=f（x）+e^x-1，当x≥1时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

10．函数y=x²e^2x的导数是（　　）

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