Question

14．如图，一架飞机以326km/h的速度，沿北偏东75°的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？

Answer 1

分析 设飞机飞到E点时接到命令，连接AC，CE，在△ACD中，根据余弦定理求出AC，正弦定理求出∠ACD，在△ABC中，根据余弦定理，求出AB，∠BAC，在△ACE中，根据余弦定理，求出CE，∠AEC，即可得到所求．

解答 解：设飞机飞到E点时接到命令，
连接AC，CE，
∴AE=$\frac{326×18}{60}$=97.8km，
在△ACD中，根据余弦定理：
AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2×AC×CD×cos66°}$
=$\sqrt{5{7}^{2}+11{0}^{2}-2×57×110×cos66°}$
=101.235，
根据正弦定理得，$\frac{AD}{sin∠ACD}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴sin∠ACD=$\frac{AD×sin∠ADC}{AC}$=$\frac{57×sin66°}{101.235}$=0.5144，
∴∠ACD=30.96°，
∴∠ACB=133°-30.96°=102.04°，
在△ABC中，根据余弦定理，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2×AC×BC×cos∠ACB}$
=$\sqrt{101.23{5}^{2}+20{4}^{2}-2×101.235×204×cos102.04°}$=245.93，
∴cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2×AB×AC}$=$\frac{245.9{3}^{2}+101.23{5}^{2}-20{4}^{2}}{2×245.93×101.235}$=0.5847，
∴∠BAC=54.21°，
在△ACE中，根据余弦定理，
CE=$\sqrt{A{C}^{2}+A{E}^{2}-2×AC×AE×cos∠EAC}$
=$\sqrt{101.23{5}^{2}+97．{8}^{2}-2×101.235×97.8×0.5487}$=90.75，
∴cos∠AEC=$\frac{A{E}^{2}+E{C}^{2}-A{C}^{2}}{2×AE×EC}$=$\frac{97．{8}^{2}+90.7{5}^{2}-101.23{5}^{2}}{2×97.8×90.75}$=0.4254，
∴∠AEC=64.82°，
∴180°-∠AEC-（180°-75°）=75°-64.82°=10.18°　
∴飞机应以南偏西10.18°的方向飞行，飞行距离约为90.75km．
答：飞机应以南偏西10.18°的方向飞行，飞行距离约为90.75km．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，正确运用正弦、余弦定理是关键．