Question

已知函数 ().
（1）若,求函数的极值;
（2）设．
① 当时,对任意,都有成立,求的最大值;
② 设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.

Answer 1

（1）参考解析； （2）①－1－e^－1，②(－1,+∞)

解析试题分析：（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论
（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x²－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x²－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.
②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝ (x＞1)的单调性即可得到结论.
（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e^x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).
所以f ′(x)＝e^x.       2分
令f ′(x)＝0,得x₁＝－1,x₂＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0,)		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

 
由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e^－1,f (x)的极小值是f ()＝4.   4分
（2）① 因为g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x,
当a＝1时,g (x)＝(x－