Question

函数f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（4）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）解出2x=

1+y

1-y

，令2^x＞0，解出即可得到值域；
（2）运用单调性的定义判断，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤；
（3）运用奇偶性的定义，注意先求定义域，再计算f（-x）；
（4）先由奇偶性得到f（1-m）＜f（m²-1），再运用单调性得到1-m＜m²-1，解出即可．

解答： 解：（1）∵2x=

1+y

1-y

，
又2^x＞0，∴-1＜y＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）；
（2）函数f（x）在R上为单调增函数．
证明：f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定义域R中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁＜2^x₂，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴函数f（x）在R上为单调增函数．
（3）函数f（x）为奇函数．
证明：定义域为R，关于原点对称，
∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴函数f（x）为奇函数；
（4）∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
由于函数f（x）在R上为单调增函数，
则1-m＜m²-1，即m²+m-2＞0，解得m＜-2或m＞1．
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性的判断，以及函数的奇偶性的判断，注意运用定义，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．