Question

20．焦点在坐标轴，中心在原点的双曲线的渐近线过点（3，-4），则双曲线的离心率为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，结合题意双曲线的渐近线过点（3，-4），可得其一条渐近线方程，分2种情况讨论，若双曲线的焦点在x轴上，分析可得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，由双曲线的几何性质可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，由离心率公式计算可得此时双曲线离心率，若双曲线的焦点在y轴上，同理分析可得此时双曲线离心率，综合可得答案．

解答 解：根据题意，若该双曲线的渐进线过点（3，-4），则其一条渐近线方程为：y=-$\frac{4}{3}$x，
分2种情况讨论：
若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$；
若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则其渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
则有$\frac{a}{b}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{3}{4}$a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{5}{4}$a，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$；
综合可得：双曲线的离心率为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点的位置．