Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（I）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）PD⊥平面ABM；
（Ⅲ）求三棱锥A-PBM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：

分析：（I）根据条件，得到四边形ABME为平行四边形，从而，得到BM∥AE，得证；
（Ⅱ）首先，得到AE⊥PD，然后，得到AB⊥PD，问题得证；
（Ⅲ）直接根据V_A-PBM=V_P-ABM求解．

解答： 解：（I）证明：取PD的中点E，连结AE和EM，则EM=

1

2

CD，EM∥CD，又AB=

1

2

CD，AB∥CD．
∴AB∥EM，AB=EM．
∴四边形ABME为平行四边形，
∴BM∥AE，
又∵BM?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）∵AD=AP，E为PD中点，
∴AE⊥PD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
∴PD⊥平面ABM．
（Ⅲ）在四边形ABME中，AB=1，BM=AE=PE=

1

2

PD=

2

，
∴V_A-PBM=V_P-ABM=

1

3

PE•S_△ABM=

1

3

×

2

×（

1

2

×1×

2

）=

1

3

．

点评：本题中点考查了线面平行、线面垂直的判定和性质等知识，属于中档题．