Question

16．（1）化简求值：$\frac{{sin（π-α）cos（π+α）cos（\frac{3π}{2}+α）}}{cos（3π-α）sin（3π+α）}$；
（2）设sinα=-$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，-$\frac{π}{2}$＜α＜0，0＜β＜$\frac{π}{2}$，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函数的诱导公式化简求值得答案；
（2）由sinα的值和α的范围求出cosα的值，再求出tanα的值，由三角函数的诱导公式化简求出tan（α+β）的值，进一步由α和β的范围即可求出α+β的值．

解答 解：（1）$\frac{{sin（π-α）cos（π+α）cos（\frac{3π}{2}+α）}}{cos（3π-α）sin（3π+α）}$
=$\frac{（sinα）（-cosα）（sinα）}{（-cosα）（-sinα）}$=-sinα；
（2）∵$sinα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，
∴$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，tanα=-2$．
∵$tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-2+\frac{1}{3}}{1-（-2）×\frac{1}{3}}=-1$，
又∵-$\frac{π}{2}$＜α＜0，0＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{2}＜α+β＜\frac{π}{2}$，即$α+β=-\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的运用，是基础题．