Question

6．已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$cos²ωx+$\sqrt{3}$（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=$\sqrt{3}$，c=3$\sqrt{2}$，sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$求得ω的值，求得f（x）的解析式，利用正弦函数单调性求得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）f（C）=$\sqrt{3}$，C为锐角，求得C，由正弦定理可知：sinB=2sinA，b=2a，代入余弦定理求得a和b的值，根据三角形的面积公式，可求得△ABC的面积．

解答 解：f（x）=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$cos²ωx+$\sqrt{3}$，
=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx，
=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，又（ω＞0），$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}×2$，
解得：ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），解得：-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，（k∈Z），
∴f（x）单调递增区间为[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，（k∈Z）；
（Ⅱ）f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴2C-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{2}$，
∵角C为锐角，
∴C=$\frac{π}{3}$，
sinB=2sinA，由正弦定理可知：b=2a，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，即18=a²+4a²-2×a×2a_×$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{6}$，
b=2$\sqrt{6}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角恒等变换与正弦函数图象及性质相结合，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于中档题．