Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2

5

，离心率为

5

5

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线L与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点H（异于点M，N），满足

MP

PN

=

MH

HN

，试证明点H恒在一定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的斜率,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2

5

，离心率为

5

5

，求出几何量，即可得出椭圆E的标准方程；
（2）根据PF₂⊥F₂Q，可得-y₁y₀=4（x₁-1），再利用直线的斜率公式，即可证明；
（3）设过P（5，3）的直线L与椭圆交于两个不同点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点H（x，y），确定坐标之间的关系，再利用4

x

2 1

+5

y

2 1

=20，4

x

2 2

+5

y

2 2

=20，即可得证．

解答： （1）解：由题意得2a=2

5

，e=

c

a

=

5

5

，a²=b²+c²，
解得a=

5

，b=2，c=1
所以椭圆E：

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）证明：由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=

a2

c

=5，F₂（1，0）
设P（5，y₀），Q（x₁，y₁）
因为PF₂⊥F₂Q，所以kQF2kPF2=

y0

5-1

•

y1

x1-1

=-1
所以-y₁y₀=4（x₁-1）
又因为k_PQk_OQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-5

=

y 2 1 -y1y0

x 2 1 -5x1

=

y 2 1 +4(x1-1)

x 2 1 -5x1

且

y

2 1

=4(1-

x 2 1

5

)化简得k_PQk_OQ=-

4

5

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-

4

5

；
（3）证明：设过P（5，3）的直线L与椭圆交于两个不同点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点H（x，y），
则4

x

2 1

+5

y

2 1

=20，4

x

2 2

+5

y

2 2

=20
设

MP

PN

=

MH

HN

=λ，则

PM

=λ

PN

，

MN

=λ

HN

所以（x₁-5，y₁-3）=λ（x₂-5，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y）
整理得5=

x1-λx2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，3=

y1-λy2

1-λ

，y=

y1+λy2

1+λ

从而5x=

x12-λ2x22

1-λ2

，3y=

y12-λ2y22

1-λ2

由于4

x

2 1

+5

y

2 1

=20，4

x

2 2

+5

y

2 2

=20
所以20x+15y=

4x 2 1 - 4λ2x 2 2 + 5y 2 1 - 5λ2y 2 2

1-λ2

=

4x 2 1 + 5y 2 1 -λ2( 4x 2 2 + 5y 2 2 )

1-λ2

=20
所以点H恒在直线20x+15y-20=0，即4x+3y-4=0上．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．