题目内容
用单调性定义证明：函数f（x）=3x+x3在（-∞，+∞）上是增函数（参考公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2））
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：设?x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，根据单调性的定义证明即可．
解答：
解：设?x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，
∴f(x1)-f(x2)=(3x1+x13)-(3x2+x23)
=(3x1-3x2)+(x13-x23)
=3(x1-x2)+(x1-x2)(x12+x1x2+x22)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+3)
=(x1-x2)[(x1+
)2+
x22+3]，
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，
又(x1+
)2≥0，
x22≥0，
∴(x1+
)2+
x22+3＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
∴f(x1)-f(x2)=(3x1+x13)-(3x2+x23)
=(3x1-3x2)+(x13-x23)
=3(x1-x2)+(x1-x2)(x12+x1x2+x22)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+3)
=(x1-x2)[(x1+
| x2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，
又(x1+
| x2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴(x1+
| x2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了函数的单调性的证明问题，是一道基础题．
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+
）⊥（
-
）
②
与
的夹角为α-β
③|
+
|＜2
④
与
在
+
方向上的投影相等．
| a |
| b |
①（
| a |
| b |
| a |
| b |
②
| a |
| b |
③|
| a |
| b |
④
| a |
| b |
| a |
| b |
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