Question

1．若实数x，y满足$xy+3x=3（0＜x＜\frac{1}{2}）$，则$\frac{3}{x}+\frac{1}{y-3}$的最小值为8．

Answer 1

分析 实数x，y满足$xy+3x=3（0＜x＜\frac{1}{2}）$，可得x=$\frac{3}{y+3}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，解得y＞3．则$\frac{3}{x}+\frac{1}{y-3}$=y+3+$\frac{1}{y-3}$=y-3+$\frac{1}{y-3}$+6，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵实数x，y满足$xy+3x=3（0＜x＜\frac{1}{2}）$，
∴x=$\frac{3}{y+3}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，解得y＞3．
则$\frac{3}{x}+\frac{1}{y-3}$=y+3+$\frac{1}{y-3}$=y-3+$\frac{1}{y-3}$+6≥$2\sqrt{（y-3）•\frac{1}{y-3}}$+6=8，当且仅当y=4（x=$\frac{3}{7}$）时取等号．
故答案为：8．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．