Question

9．已知函数f（x）=sinx-3mx，g（x）=mxcosx-mx．
（1）讨论f（x）在区间[0，π]上的单调性；
（2）若对任意x≥0，都有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为sinx-2mx-mxcosx≤0，x≥0，设$h（x）=\frac{sinx}{2+cosx}-mx（{x≥0}）$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=cosx-3m，
当$m≥\frac{1}{3}$时，f（x）在区间[0，π]上为减函数；
当$m≤-\frac{1}{3}$时，f（x）在区间[0，π]上为增函数；
当$-\frac{1}{3}＜m＜\frac{1}{3}$时，则存在x₀∈（0，π）使得cosx₀=3m，
因此f（x）在区间[0，x₀）上为增函数，在区间（x₀，π]上为减函数．
（2）f（x）≤g（x），x≥0?sinx-2mx-mxcosx≤0，x≥0
$?（{2+cosx}）（{\frac{sinx}{2+cosx}-mx}）≤0，x≥0$，（*）
设$h（x）=\frac{sinx}{2+cosx}-mx（{x≥0}）$，
则$h'（x）=\frac{2cosx+1}{{{{（{2+cosx}）}^2}}}-m=-3{（{\frac{1}{2+cosx}}）^2}+2（{\frac{1}{2+cosx}}）-m$
=$-3{（{\frac{1}{2+cosx}-\frac{1}{3}}）^2}+\frac{1}{3}-m$
①当$\frac{1}{3}-m≤0$即$m≥\frac{1}{3}$时，h'（x）≤0，即h（x）在[0，+∞）递减，
所以h（x）≤h（0）=0，因此（*）恒成立；
②当m≤0时，取$x=\frac{π}{2}$，则有$h（x）=\frac{1}{2}-\frac{π}{2}m＞0$，因此（*）不恒成立；
③当$0＜m＜\frac{1}{3}$时，则由（1）可知存在x₀∈（0，π）使得f（x）在（0，x₀）递增，
所以f（x）＞f（0）=0，即sinx＞3mx，
因此当x∈（0，x₀）时，$h（x）＞\frac{sinx}{3}-mx＞0$，因此（*）不恒成立，
综上，实数m的取值范围是$[\frac{1}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．