Question

【题目】已知二次函数满足，且方程有两个相等的实数根

（1）求函数的解析式;

（2）若是上的奇函数，且时，，求的解析式;

（3）若不等式对一切实数，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2+x+1．（2）

（3）．

【解析】

（1）利用及方程有两个相等的实数根，列得关于，的方程，解出即可；

（2）由是上的奇函数，得到，再利用奇偶性求得时的，写成分段函数形式即可.

（3）先利用二次函数性质求得函数f（x）的最大值，再利用判别式解得c得范围．

（1）∵二次函数满足，

∴4a+2b=0．

又方程有两个相等的实数根，

即ax2+（b﹣1）x＝0，∴△＝（b﹣1）2＝0．

∴，

∴f（x）＝x2+x+1．

（2）∵是上的奇函数，∴当时，，

又时，，

令，则，∴，∵是上的奇函数，，

综上，

（3）若不等式对一切实数，恒成立，则

又f（x）＝x2+x+1=，

∴ ，即对一切实数恒成立，

∴，即，解得，

∴．