Question

【题目】已知函数；

（1）讨论的极值点的个数；

（2）若，且恒成立，求的最大值．

参考数据：

	1.6	1.7	1.8
	4.953	5.474	6.050
	0.470	0.531	0.588

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)10.

【解析】

（1）求导数得到，然后分和两种情况讨论函数的极值点的个数．（2）由（1）知有极大值，且满足①，

且，要使恒成立，只需②，代换后可得只需，又，所以只需．然后通过分析可得函数的零点，且．又由②可得，且当时，，不等式显然恒成立；当时，，，然后令，，可得，于是可得的最大值．

（1）根据题意可得，，

①当时，，函数单调递减，无极值点；

②当时，令，得，

又在上是增函数，且当时，，

所以在上存在一解，不妨设为，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

所以函数有一个极大值点，无极小值点；

总上可得：当时，无极值点；

当时，函数有一个极大值点，无极小值点．

（2）因为，由（1）知有极大值，且满足①，

且，

要使恒成立，只需②，

由①可得，代入② 得，即，

因为，所以，

因为，，且在是增函数，

设为的零点，则，可知，

由②可得，

当时，，不等式显然恒成立；

当时，，，

令，，，

所以上是减函数，且，，

所以，

所以，

又，

所以的最大值为．