Question

给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=

π

3

对称；③在（-

π

6

，

π

3

）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（　　）

• A、y=sin（

  x

  2

  +

  π

  6

  ）
• B、y=cos（

  x

  2

  -

  π

  6

  ）
• C、y=sin（2x-

  π

  6

  ）
• D、y=cos（2x+

  π

  3

  ）

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用函数的最小正周期为π可排除A，B，利用图象的单调递增区间进一步排除D，即可得答案．

解答： 解：A，y=sin（

x

2

+

π

6

）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，故不满足；
B，y=cos（

x

2

-

π

6

）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，故不满足；
C，令y=f（x）=sin（2x-

π

6

），则f（

π

3

）=sin（

2π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1，为最大值，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）的图象关于直线x=

π

3

对称，且其周期T=

2π

2

=π，同时具有性质①、②，符号题意；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解得：x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z，
从而当k=1时，有函数f（x）=sin（2x-

π

6

）在（-

π

6

，

π

3

）上是增函数．
D，y=cos（2x+

π

3

），由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈Z可解得其单调递减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z，故不符合③；
故选：C．

点评：本题考查三角函数的周期性与对称性及其求法，以及单调递增区间的求法，突出排除法在解选择题中的应用，属于中档题．