Question

4．若函数f（x）=$\frac{2\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+（x+2）^{2}-4co{s}^{2}x}{{x}^{2}+2}$的值域为[m，n]，则m+n=2．

Answer 1

分析 由f（x）化简整理可得1+$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，设g（x）=$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，定义域为R，判断为奇函数，即有最值之和为0，可得m+n=2．

解答 解：函数f（x）=$\frac{2\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+（x+2）^{2}-4co{s}^{2}x}{{x}^{2}+2}$
=$\frac{2\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x+\frac{\sqrt{2}}{2}cos2x）-2（1+cos2x）+（x+2）^{2}}{{x}^{2}+2}$
=$\frac{2sin2x-2+{x}^{2}+4x+4}{{x}^{2}+2}$=1+$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，
设g（x）=$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，定义域为R，
g（-x）=$\frac{-4x-2sin2x}{{x}^{2}+2}$=-g（x），
则g（x）为R上的奇函数，
由题意f（x）的值域为[m，n}，
即有g（x）=f（x）-1的值域为[m-1，n-1]，
由奇函数的性质可得m-1+n-1=0，
即m+n=2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的值域问题，考查函数的奇偶性的运用，注意运用奇函数在R上的最值之和为0，考查运算能力，属于中档题．