Question

19．如图是函数$f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的图象的一部分．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）若$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}，α∈[\frac{π}{2}，π]，求tan2α$．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件求得 $cos2α=\frac{1}{2}$，再根据 2α∈[π，2π]，求得2α=$\frac{5π}{3}$，可得tan2α 的值．

解答 解：（1）由图象可知振幅A=3，又$T=\frac{5π}{6}-（-\frac{π}{6}）=π$，∴ω=$\frac{2π}{T}=2$，∴f（x）=3sin（2x+φ）．
再根据五点法作图可得 2•$\frac{π}{3}$+φ=π，∴$ϕ=\frac{π}{3}$，∴$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）∵$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，∴$3sin（2α+\frac{π}{2}）=\frac{3}{2}$，∴$cos2α=\frac{1}{2}$．
∵α∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴2α∈[π，2π]，∴2α=$\frac{5π}{3}$，∴tan2α=tan$\frac{5π}{3}$=tan（-$\frac{π}{3}$）=-tan$\frac{π}{3}$=-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据三角函数的值求角，属于基础题．