题目内容
7．设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值为（ ）| A． | -log20122011 | B． | -1 | C． | （log20122011）-1 | D． | 1 |
分析 由题意可得f′（x）=（n+1）xn，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，在方程中，令y=0可得，xn=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘可求x1x2…x2011=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}…\frac{2011}{2012}=\frac{1}{2012}$，代入可求出答案．
解答 解：对函数f（x）=xn+1求导可得，f′（x）=（n+1）xn ，
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）．
令y=0可得，xn=$\frac{n}{n+1}$，
∴x1x2…x2011=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}…\frac{2011}{2012}=\frac{1}{2012}$．
∴log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011=log2012（x1x2…xn）
=log2012$\frac{1}{2012}=-1$．
故选：B．
点评 本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力，是中档题．
练习册系列答案
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