Question

9．定义在R上的函数f（x）满足（x-1）f′（x）≤0（f′（x）是f（x）的导函数），且y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当|x₁-1|＜|x₂-1|时，恒有（　　）

• A． f（2-x₁）≥f（2-x₂）
• B． f（2-x₁）=f（2-x₂）
• C． f（2-x₁）＜f（2-x₂）
• D． f（2-x₁）≤f（2-x₂）

Answer 1

分析 通过讨论：①若f（x）=c，②若f（x）不是常数，结合函数的对称性判断大小即可．

解答 解：①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x-1）f'（x）≤0，
当|x₁-1|＜|x₂-1|时，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．
，函数y=f（x）关于x=1对称，
所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，
当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．
若x₁≥1，x₂≥1，则由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，
即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂），
同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），
即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂），
若x₁，x₂中一个大于1，一个小于1，不妨设x₁＜1，x₂≥1，
则-（x₁-1）＜x₂-1，得1＜2-x₁＜x₂，
所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂），
综上有f（x₁）＞f（x₂），即f（2-x₁）＞f（2-x₂），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、对称性问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．