Question

设向量

a

=（λ+2，λ²-

3

cos2α），

b

=（m，

m

2

+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．
（Ⅰ）若α=

π

12

，且

a

⊥

b

，求m的取值范围；
（Ⅱ）若

a

=2

b

，求

λ

m

的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由向量垂直的条件，化简得到关于λ的方程，对系数讨论，当m=-

1

2

时，当m≠-

1

2

时，△≥0，解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）由向量共线知识，得到λ+2=2m且λ2-

3

cos2α=m+2sinαcosα，消去λ，得m的式子，运用三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的值域，解关于m的不等式，即可得到所求范围．

解答： 解：（Ⅰ）α=

π

12

时，

a

=（λ+2，λ²-

3

2

），

b

=（m，

m

2

+

1

4

），
由于

a

⊥

b

，则

a

•

b

=0，即有（λ+2）m+（λ2-

3

2

）（

m

2

+

1

4

）=0，
即有

2m+1

4

λ2+mλ+

10m-3

8

=0对一切λ∈R均有解，
当m=-

1

2

时，λ=2成立，
当m≠-

1

2

时，△=m²-4×

2m+1

4

×

10m-3

8

≥0，

-1- 10

6

≤m≤

-1+ 10

6

，且m≠-

1

2

，
综上，可得，m的取值范围是[

-1- 10

6

，

-1+ 10

6

]；
（Ⅱ）

a

=2

b

，则λ+2=2m且λ2-

3

cos2α=m+2sinαcosα，
消去λ，得（2m-2）²-m=sin2α+

3

cos2α，
即有4m²-9m+4=2sin（2α+

π

3

）∈[-2，2]，
由-2≤4m²-9m+4≤2，解得，

1

4

≤m≤2，
则

λ

m

=

2m-2

m

=2-

2

m

∈[-6，1]．
则有

λ

m

的取值范围是[-6，1]．

点评：本题考查向量共线和垂直的条件，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．