圆M:x2+y2-2y=24.直线l:x+y=11.l上一点A的横坐标为a.过点A作圆M的两条切线l1.l2.切点为B.C．(Ⅰ)当a=0时.求直线l1.l2的方程,(Ⅱ)是否存在点A.使得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-2?若存在.求出点A的坐标.若不存在.请说明理由．(Ⅲ)求证当点A在直线l运动时.直线BC过定点P0．问的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

圆M：x²+y²-2y=24，直线l：x+y=11，l上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l₁，l₂，切点为B，C．
（Ⅰ）当a=0时，求直线l₁，l₂的方程；
（Ⅱ）是否存在点A，使得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-2？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）求证当点A在直线l运动时，直线BC过定点P₀．
（附加题）问：第（Ⅲ）问的逆命题是否成立？

分析（1）利用点到直线的距离公式，可直接求出斜率；
（2）当l₁⊥l₂时，四边形MCAB为正方形，求出a的值；设$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=2θ，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|AB|²（1-2sin²θ），故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（AM²-25）（1-$\frac{50}{A{M}^{2}}$）=AM²+$\frac{25×50}{2A{M}^{2}}$-75，又圆心M到直线l的距离是$5\sqrt{2}$∴AM²≥50，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≥50+$\frac{25×50}{50}$-75=0，故点A不存在．
（3）利用两圆方程相减，求出公共弦直线方程，找出定点．

解答解：（1）圆M：x²+（y-1）²=25，圆心M（0，1），半径r=5，A（0，11），
设切线的方程为y=k x+11，圆心距d=$\frac{10}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，
∴k=±$\sqrt{3}$，所求直线l₁，l₂的方程为y=±$\sqrt{3}$x+11
（2）当l₁⊥l₂时，四边形MCAB为正方形，
∴|AM|+$\sqrt{2}$|MB|=5$\sqrt{2}$
设A（a，11-a），M（0，1）则 $\sqrt{{a}^{2}+（10-a）^{2}}$=$5\sqrt{2}$
a²-10a+25=0∴a=5
设$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=2θ，则
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|AB|²（1-2sin²θ），
又sinθ=$\frac{r}{|AM|}$，故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（AM²-25）（1-$\frac{50}{A{M}^{2}}$）=AM²+$\frac{25×50}{2A{M}^{2}}$-75，
又圆心M到直线l的距离是$5\sqrt{2}$
∴AM²≥50，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≥50+$\frac{25×50}{50}$-75=0，故点A不存在．
（3）设A（a，b），则a+b=1   ①；
已AM为直径的圆与圆M交于B，C，AB，AC为切线；
以AM为直径的圆方程为：x（x-a）+（y-1）（y-b）=0 ②
圆M：x²+y²-2y=24   ③，
两式②③相减得公共弦BC方程：24+2y-ax-（b+1）y+b=0，代入①化简：
y-$\frac{7}{2}$=-$\frac{a}{10-a}$（x-$\frac{5}{2}$），故知P₀ （$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$）．
附加题：
首先：第（III）的逆命题是：过定点P₀ （$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$）的直线交圆x²+y²-2y=24 于B．C两点，分别以B，C为切点作圆M的切线l₁，l₂ 相交于A点，则A在x+y=11上．
证明：设A（a，b），已AM为直径的圆与圆M交于B，C，易证AB，AC为切线；
以AM为直径的圆方程为：x（x-a）+（y-1）（y-b）=0
圆M：x²+y²-2y=24，
两式相减得公共弦BC方程：24+2y-ax-（b+1）y+b=0，
由于公共弦BC所在直线过定点P₀ （$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$），代入可得a+b=11，得证．