Question

6．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=8，D是AA₁的中点
（1）求证：平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（2）求四棱锥B-ACC₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁，BC₁的中点E，F，连结A₁E，EF，DF，推导出DF∥A₁E，A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥B₁B，从而DF⊥平面BB₁C₁C，由此能证明平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．
（2）由题意知四棱锥B-ACC₁D与四棱锥C₁-A₁B₁BD等低等高，且${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-AC{C}_{1}D}+{V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}BD}$，从而四棱锥B-ACC₁D的体积${V}_{B-AC{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
分别取B₁C₁，BC₁的中点E，F，
连结A₁E，EF，DF，
∵D是AA₁的中点，∴由已知得EF∥DA₁，且EF=DA₁，
则四边形形DA₁EF为平行四边形形，∴DF∥A₁E，
由AB=AC，得A₁B₁=A₁C₁，∴A₁E⊥B₁C₁，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥平面A₁B₁C₁，∴A₁E⊥B₁B，又B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁E⊥平面BB₁C₁C，∴DF⊥平面BB₁C₁C，
又DF?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）由题意知四棱锥B-ACC₁D与四棱锥C₁-A₁B₁BD等低等高，
且${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-AC{C}_{1}D}+{V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}BD}$，
∴${V}_{B-AC{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∵A₁B₁=A₁C₁=5，B₁C₁=8，
∴B₁C边上的高为3，
∴${S}_{△{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3×8$=12，
∴四棱锥B-ACC₁D的体积${V}_{B-AC{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×12×8$=48．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．