Question

17．已知圆C：x²+y²-4x-2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay-1=0对称，过点A（-4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=6．

Answer 1

分析 求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．

解答 解：∵圆C：x²+y²-4x-2y+1=0，即（x-2）²+（y-1）² =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay-1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a-1=0，∴a=-1，点A（-4，-1）．
∵AC=$\sqrt{（-4-2）^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CB=R=2，
∴切线的长|AB|=$\sqrt{40-4}$=6．
故答案为6．

点评 本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．