Question

1．若二项式 （$\frac{2}{{\root{3}{x}}}$+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中的常数项为第五项．求：
（1）n的值；（2）设展开式中所有项系数和等于A，求$\root{10}{A}$的值；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）二项式 （$\frac{2}{{\root{3}{x}}}$+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中的常数项为第五项．可得T₅=${∁}_{n}^{4}$$（\frac{2}{\root{3}{x}}）^{n-4}$$（\sqrt{x}）^{4}$=2^n-4${∁}_{n}^{4}$${x}^{2+\frac{4-n}{3}}$，令2+$\frac{4-n}{3}$=0，解得n．
（2）令x=1，则3¹⁰=A，可得$\root{10}{A}$；
（3）T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\frac{2}{\root{3}{x}}）^{10-r}$$（\sqrt{x}）^{r}$=${2}^{10-r}{∁}_{10}^{r}$${x}^{\frac{5r-10}{6}}$．令${2}^{10-r}{∁}_{10}^{r}$≥${2}^{11-r}{∁}_{10}^{r-1}$，${2}^{10-r}{∁}_{10}^{r}$≥${2}^{9-r}{∁}_{10}^{r+1}$，解得r即可得出．

解答 解：（1）∵二项式 （$\frac{2}{{\root{3}{x}}}$+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中的常数项为第五项．∴T₅=${∁}_{n}^{4}$$（\frac{2}{\root{3}{x}}）^{n-4}$$（\sqrt{x}）^{4}$=2^n-4${∁}_{n}^{4}$${x}^{2+\frac{4-n}{3}}$，
令2+$\frac{4-n}{3}$=0，解得n=10．
（2）令x=1，则3¹⁰=A，∴$\root{10}{A}$=3；
（3）T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\frac{2}{\root{3}{x}}）^{10-r}$$（\sqrt{x}）^{r}$=${2}^{10-r}{∁}_{10}^{r}$${x}^{\frac{5r-10}{6}}$．
令${2}^{10-r}{∁}_{10}^{r}$≥${2}^{11-r}{∁}_{10}^{r-1}$，${2}^{10-r}{∁}_{10}^{r}$≥${2}^{9-r}{∁}_{10}^{r+1}$，
解得r=4．
∴展开式中系数最大的项是T₅=${2}^{4}{∁}_{10}^{4}$${x}^{\frac{5}{3}}$．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．