Question

15．已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}+1}{2}{，a}_{n}是奇数}\\{{3a}_{n}-1{，a}_{n}是偶数}\end{array}\right.$，若S₃=10，则S₁₈₀=（　　）

• A． 600或900
• B． 900或560
• C． 900
• D． 600

Answer 1

分析 对a₁与a₂分类讨论（奇数，偶数），利用递推关系可得数列的周期性，即可得出．

解答 解：（ⅰ）当a₁为奇数时，a₂=$\frac{{a}_{1}+1}{2}$，此时若a₂为奇数，则a₃=$\frac{{a}_{2}+1}{2}$=$\frac{{a}_{1}+3}{4}$，
∴S₃=10=a₁+$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{1}+3}{4}$，解得a₁=5，此时的数列{a_n}为5，3，2，5，3，2，…．
（ⅱ）当a₁为奇数时，a₂=$\frac{{a}_{1}+1}{2}$，此时若a₂为偶数，则a₃=3a₂-1=$\frac{3（{a}_{1}+1）}{2}$-1，
∴S₃=10=a₁+$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{3（{a}_{1}+1）}{2}$-1，解得a₁=3，此时的数列{a_n}为3，2，5，3，2，5，…；
（ⅲ）当a₁为偶数时，a₂=3a₁-1，此时a₂为奇数，则a₃=$\frac{{a}_{2}+1}{2}$=$\frac{3{a}_{1}}{2}$，∴S₃=10=a₁+3a₁-1+$\frac{3{a}_{1}}{2}$，
解得a₁=2，此时的数列{a_n}为2，5，3，2，5，3，…．
上述三种情况数列{a_n}均为3周期数列，又60×3=180，∴S₁₈₀=60×（5+3+2）=600．
故选：D．

点评 本题考查了分类讨论方法、数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．