Question

已知函数f（x）=

x

x2+ax+2

，x≥1．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值；
（2）对任意x≥1，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=

x

x2+x+2

=

1

x+ 2 x +1

，利用基本不等式求f（x）的最大值；
（2）对任意x≥1，f（x）＞0恒成立，对任意x≥1，x²+ax+2＞0恒成立，可得a＞-（x+

2

x

），利用基本不等式求的最值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=

x

x2+x+2

=

1

x+ 2 x +1

，
∵x≥1，
∴x+

2

x

≥2

2

，
∴f（x）≤

1

2 2 +1

=

2 2 -1

7

；
（2）对任意x≥1，f（x）＞0恒成立，
∴对任意x≥1，x²+ax+2＞0恒成立，
∴a＞-（x+

2

x

），
∵x+

2

x

≥2

2

，
∴-（x+

2

x

）≤-2

2

，
∴a＞-2

2

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．