Question

已知点A（0，

3

）和圆O₁：x²+（y+

3

）²=16，点M在圆O₁上运动，点P在半径O₁M上，且|PM|=|PA|，则动点P的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，可得|O₁P|+|PA|=|O₁M|=4，得到P的轨迹是以点A（0，

3

），O₁（0，-

3

）为焦点的椭圆．根据椭圆的基本概念求出椭圆方程，即可得到动点P的轨迹方程．

解答： 解：由题意，可得圆O₁：x²+（y+

3

）²=16是以O₁（0，-

3

）为圆心，半径r=4的圆
∵点P在半径O₁M上，且|PM|=|PA|，
∴|O₁P|+|PA|=|O₁P|+|PM|=|O₁M|=4，
可得点P到A（0，

3

），O₁（0，-

3

）的距离之和为4（常数）
因此，点P的轨迹是以点A（0，

3

），O₁（0，-

3

）为焦点的椭圆，
∵焦点在y轴上，c=

3

且2a=4，
∴a=2得a²=4，b²=a²-c²=4-3=1，
∴椭圆方程为x2+

y2

4

=1．
综上所述，点P的轨迹方程为x2+

y2

4

=1．
故答案为：x2+

y2

4

=1．

点评：本题给出圆O₁上动点P和定点A，求点P的轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题．