题目内容
19．
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到四棱锥A′-BCDE，已知A′H⊥CD，垂足为H．（Ⅰ）求证：平面A′HB⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求三棱锥B-A′DE的最大体积．
分析 （1）由DE⊥CD，DE⊥A′D可知DE⊥平面A′CD，故而A′H⊥DE，又A′H⊥CD，故A′H⊥平面BCDE，于是平面A′HB⊥平面BCDE；
（2）当A′D⊥平面BCDE时，棱锥A′-BDE的高取得最大值a，且底面BDE不变，从而求出棱锥的最大体积．
解答 
证明：（1∵D，E是AC，AB的中点，∠ACB=90°，
∴DE⊥CD，DE⊥A′D，又CD?平面A′CD，A′D?平面A′CD，CD∩A′D=D，
∴DE⊥平面A′CD．∵A′H?平面A′CD，
∴A′H⊥DE，又A′H⊥CD，CD∩DE=D，CD?平面BCDE，DE?平面BCDE，
∴A′H⊥平面BCDE，∵A′H?平面A′HB，
∴平面A′HB⊥平面BCDE．
（2）∵AC=BC=2a，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，
∴A′D=DE=a，S△BDE=$\frac{1}{2}×a×a$=$\frac{{a}^{2}}{2}$．
当A′D⊥平面BCDE时，四棱锥A′-BCDE的高取得最大值A′D=a，
∴三棱锥B-A′DE的最大体积VB-A′DE=VA′-BDE=$\frac{1}{3}$S△BDE•A′D=$\frac{1}{3}×\frac{{a}^{2}}{2}×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$．
点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
9．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：
（Ⅰ）求y关于x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额
附：回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．
| x | 2 | 5 | 8 | 9 | 11 |
| y | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额
附：回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．
10．下列命题中，真命题是（ ）
| A． | “a≤b”是“a+c≤b+c”的必要不充分条件 | |
| B． | 如果空间两条直线不相交，则这两条直线平行 | |
| C． | 设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为?x0∈R，x02+1＜0 | |
| D． | “若α=$\frac{π}{4}$，则tanα=1”的逆否命题为“若tanα≠1，则α≠$\frac{π}{4}$” |
4．$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{n}$sin$\frac{i}{n}$）=（ ）
| A． | 1-cos1 | B． | 1-sin1 | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | -$\frac{π}{2}$ |
8．不等式x2-3x+1≤0的解集是（ ）
| A． | {x|x≥$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$} | B． | {x|x≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$} | C． | {x|$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$} | D． | ∅ |