Question

7．如图菱形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，AD的中点，∠BAD=120°，沿EF将平面AEF折起形成一个五棱锥A-BCDFE．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）当翻折形成的五棱锥体积最大时，取CD中点M，求二面角M-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理证明EF⊥平面AHC即可．
（3）当翻折形成的五棱锥体积最大时，即AH⊥平面BCDE，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-AE-F的余弦值．

解答 （1）证明：连接AC交BC于O，交EF于H，
∵ABCD是菱形，
∴EF⊥AH，EF⊥HC，
∵AH∩HC=H，
∴EF⊥平面AHC，
∵AC?平面AHC，
∴EF⊥AC；
（2）当翻折形成的五棱锥体积最大时，则五棱锥的高最大即可，
即AH⊥平面BCDE，建立以H为坐标原点，HE，HC，HA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵菱形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，AD的中点，∠BAD=120°，
∴H（0，0，0）A（0，0，1），E（$\sqrt{3}$，0，0），F（-$\sqrt{3}$，0，0），C（0，3，0），M（-$\sqrt{3}$，2，0），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），$\overrightarrow{EM}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，0，-1），
则平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设平面MAE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-z=0}\\{-2\sqrt{3}x+2y=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，则y=z=3，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，3），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3+9+9}}=\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
即二面角M-AE-F的余弦值是$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题主要考查线面垂直的性质以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．