题目内容
1．
如图，已知动直线l交圆（x-3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3$\sqrt{5}$，求点A、点B的坐标；
（2）设动点M满足$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；
（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；
（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．
分析 （1）由题意求出B的纵坐标，得到直线OA的方程，与圆的方程联立求点A、点B的坐标；
（2）设出OA所在直线方程，与圆的方程联立求出A的坐标，再求出B的坐标，然后利用向量相等得到关于M的参数方程，消去参数后得答案；
（3）取y为-y，曲线方程不变，可得曲线C关于x轴对称，再由y2≥0求得范围；
（4）直接由x→6，$\frac{{x}^{3}}{6-x}$→+∞得到曲线的渐近线方程．
解答 解：（1）由已知可得B点的横坐标为6，则纵坐标为$±\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=±3，
设直线l为y=kx，把B点坐标代入得k=$±\frac{1}{2}$则$y=±\frac{1}{2}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+{y}^{2}=9}\\{y=±\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{5}}\\{y=±\frac{12}{5}}\end{array}\right.$．
∴A（$\frac{24}{5}$，$±\frac{12}{5}$），B（6，±3）；
（2）设OA所在直线方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，得${x}_{A}=\frac{6}{{k}^{2}+1}，{y}_{A}=\frac{6k}{{k}^{2}+1}$，
又xB=6，yB=6k，
∴$\overrightarrow{AB}=（\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+1}，\frac{6{k}^{3}}{{k}^{2}+1}）$，
设M（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}\\{y=\frac{6{k}^{3}}{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$，消去k得：${y^2}=\frac{x^3}{6-x}$；
（3）取y为-y，曲线方程不变，∴曲线C关于x轴对称；
由$\frac{{x}^{3}}{6-x}≥0$，解得：0≤x＜6，
∴曲线C的顶点为（0，0）；图形范围满足x∈[0，6）；
（4）当0≤x＜6时，若x→6，则$\frac{{x}^{3}}{6-x}$→+∞，
∴曲线C的渐近线方程为x=6．
点评 本题考查直线和圆的位置关系的应用，考查了曲线参数方程的求法，训练了极限思想方法的应用，是中档题．
| A． | 1 | B． | -1 | C． | i | D． | -i |
| A． | 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” | |
| B． | 命题“?x∈R，x2+x+2＜0”的否定是真命题 | |
| C． | 命题“若x=y，则x2=y2”的逆否命题是假命题 | |
| D． | 已知m，n∈N，命题“若m+n是奇数，则m，n这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题 |
| A． | $\frac{81π}{2}$ | B． | $\frac{81π}{4}$ | C． | 65π | D． | $\frac{65π}{2}$ |
| A． | $\frac{7}{5}$ | B． | $\frac{4}{5}$ | C． | $-\frac{4}{5}$ | D． | $-\frac{7}{5}$ |
| A． | （2，2） | B． | （-1，1） | C． | （2，1） | D． | （-4，-2） |